La densité : définition, calcul, flottaison et densité des gaz

Un nombre, pas de virgule à porter

« L’or a une densité de 19,3. » La phrase est complète : aucune unité ne la suit, et ce n’est pas un oubli. La densité est l’une des rares grandeurs de la physique qui s’exprime par un nombre nu, sans gramme, sans mètre, sans seconde. Cette particularité en fait un outil commode : pas de conversion à faire, pas d’unité à surveiller, une seule valeur à retenir par matériau.

Ce nombre répond à une question simple : combien de fois ce corps est-il plus lourd que l’eau, à volume égal ? L’or est 19,3 fois plus lourd qu’un même volume d’eau ; le liège est 4 fois plus léger. Et comme l’eau est la référence, la frontière entre ce qui flotte et ce qui coule tombe exactement sur 1.

Cette page complète celle sur la masse volumique, dont la densité est le pendant sans unité. Elle en donne la définition, explique le lien numérique entre les deux, traite la flottaison, le cas particulier des gaz et l’usage du densimètre.

Définition

La densité d’un corps, notée d, est le quotient de sa masse volumique par la masse volumique d’un corps de référence, pris dans les mêmes conditions de température et de pression.

$$d=\frac{\mathrm{\rho }}{{\mathrm{\rho }}_{\text{eau}}}\text{avec}{\mathrm{\rho }}_{\text{eau}}=1,00\text{g/cm³}$$

Pour les solides et les liquides, la référence est l’eau pure, dont la masse volumique vaut 1,00 g/cm³ (soit 1 000 kg/m³) à 4 °C. Pour les gaz, la référence est l’air, dont la masse volumique vaut 1,2 g/L à 20 °C : comparer un gaz à l’eau donnerait des nombres minuscules et inutilisables.

La densité est sans unité parce qu’elle divise deux grandeurs de même nature. Les g/cm³ du numérateur se simplifient avec ceux du dénominateur, exactement comme dans un pourcentage ou dans l’échelle d’une carte. Écrire « densité de l’or : 19,3 g/cm³ » est donc une faute : il faut écrire « densité de l’or : 19,3 », ou bien « masse volumique de l’or : 19,3 g/cm³ ».

Le lien avec la masse volumique

Puisque la masse volumique de l’eau vaut exactement 1,00 g/cm³, diviser par elle ne change pas le nombre : la densité d’un solide ou d’un liquide a donc la même valeur que sa masse volumique exprimée en g/cm³. C’est un raccourci extrêmement pratique, à condition de ne jamais oublier que l’un porte une unité et l’autre non.

Corps	Masse volumique ρ	Densité d
Liège	0,24 g/cm³ = 240 kg/m³	0,24
Bois de chêne	0,70 g/cm³ = 700 kg/m³	0,70
Huile d’olive	0,92 g/cm³ = 920 kg/m³	0,92
Glace	0,92 g/cm³ = 917 kg/m³	0,92
Eau pure	1,00 g/cm³ = 1 000 kg/m³	1,00
Eau de mer	1,03 g/cm³ = 1 025 kg/m³	1,03
PVC	1,4 g/cm³ = 1 400 kg/m³	1,4
Verre	2,5 g/cm³ = 2 500 kg/m³	2,5
Aluminium	2,7 g/cm³ = 2 700 kg/m³	2,7
Fer, acier	7,87 g/cm³ = 7 870 kg/m³	7,87
Cuivre	8,96 g/cm³ = 8 960 kg/m³	8,96
Plomb	11,3 g/cm³ = 11 300 kg/m³	11,3
Mercure	13,5 g/cm³ = 13 500 kg/m³	13,5
Or	19,3 g/cm³ = 19 300 kg/m³	19,3

Sources : CRC Handbook of Chemistry and Physics, 104^e édition, à 20 °C sauf l’eau (4 °C) ; le tableau complet des masses volumiques en donne une centaine d’autres.

Exemple 1 — De la masse volumique à la densité

Calculer la densité de : (a) l’aluminium, ρ = 2 700 kg/m³ ; (b) l’éthanol, ρ = 0,79 g/cm³ ; (c) un caillou de 156 g occupant 60 cm³.

(a) Conversion : 2 700 kg/m³ = 2,70 g/cm³. d = 2,70 / 1,00 = 2,70. (b) Déjà en g/cm³ : d = 0,79. (c) D’abord la masse volumique : ρ = m / V = 156 / 60 = 2,6 g/cm³, donc d = 2,6. Dans les trois cas, le résultat s’écrit sans unité, et les trois corps coulent dans l’eau puisque d > 1.

Flotter ou couler : le rôle de la densité

C’est l’application la plus immédiate. Un corps plein, plongé dans l’eau, flotte si sa densité est inférieure à 1, et coule si elle est supérieure à 1. La raison est intuitive : à volume égal, il est plus léger ou plus lourd que l’eau qu’il déplacerait.

Trois précisions rendent ce critère fiable.

Il s’applique à un corps plein. Un bateau en acier (d = 7,87) flotte parce que sa coque est creuse : l’ensemble acier + air enfermé a une densité moyenne bien inférieure à 1. Un sous-marin plonge et remonte en remplissant ou en vidant d’eau ses ballasts, ce qui fait varier sa densité moyenne de part et d’autre de 1.

La référence doit être le liquide utilisé. Un objet de densité 1,10 coule dans l’eau douce mais flotte dans l’eau de mer si celle-ci est assez salée. Dans la mer Morte, dont l’eau atteint une densité de 1,24 à cause de ses 275 g de sel par litre, un nageur flotte sans effort, ce qui est impossible en piscine.

Deux liquides non miscibles se superposent par densité croissante. L’huile (0,92) surnage sur l’eau (1,00), qui surnage sur le sirop de sucre (1,3). C’est le principe de la « colonne de densités » que l’on réalise en classe, et celui de la séparation des hydrocarbures d’une marée noire à la surface de la mer.

Exemple 2 — Flotte ou coule ?

Un morceau de paraffine de masse 45 g occupe un volume de 50 cm³. Flotte-t-il dans l’eau ? Dans l’éthanol (d = 0,79) ?

Masse volumique : ρ = 45 / 50 = 0,90 g/cm³, donc d = 0,90. Dans l’eau (d = 1,00) : 0,90 < 1,00, la paraffine flotte. Dans l’éthanol (d = 0,79) : 0,90 > 0,79, la paraffine coule. Le même objet flotte ou coule selon le liquide : c’est bien la comparaison des densités qui décide, pas la densité seule.

La densité des gaz

Pour les gaz, comparer à l’eau n’aurait aucun intérêt : tous les gaz auraient une densité proche de 0,001, et l’on ne pourrait rien en faire. On les compare donc à l’air.

$$d=\frac{{\mathrm{\rho }}_{\text{gaz}}}{{\mathrm{\rho }}_{\text{air}}}\text{avec}{\mathrm{\rho }}_{\text{air}}=1,2\text{g/L}$$

Gaz	Masse volumique (g/L, 20 °C)	Densité (air = 1)	Comportement dans l’air
Dihydrogène H₂	0,084	0,07	monte très vite
Hélium He	0,166	0,14	monte (ballons de fête)
Méthane CH₄	0,67	0,55	monte (détecteurs au plafond)
Diazote N₂	1,17	0,97	quasi neutre
Air	1,20	1,00	référence
Dioxygène O₂	1,33	1,11	descend lentement
Dioxyde de carbone CO₂	1,84	1,53	s’accumule au sol
Propane C₃H₈	1,88	1,56	s’accumule au sol
Butane C₄H₁₀	2,49	2,08	s’accumule au sol

Source : CRC Handbook of Chemistry and Physics, à 20 °C et 1 013 hPa.

Ce tableau a des conséquences de sécurité directes. Le butane et le propane ont une densité supérieure à 1 : en cas de fuite, ils descendent et s’accumulent au ras du sol, dans les caves et les fosses, où ils forment un mélange explosif. C’est pourquoi les bouteilles de gaz sont interdites en sous-sol et pourquoi les cuisines au gaz doivent posséder une aération basse. Le méthane du gaz de ville, au contraire, a une densité de 0,55 : il monte, ce qui impose de placer les détecteurs au plafond et justifie une aération haute.

Le dioxyde de carbone (d = 1,53) s’accumule lui aussi au sol : c’est pourquoi une cuve de fermentation, une silo ou une grotte volcanique peuvent contenir une couche de CO₂ invisible et asphyxiante au niveau du sol, alors que l’air reste respirable un mètre plus haut.

Exemple 3 — Calculer la densité d’un gaz

Un ballon de 5,0 L rempli d’un gaz inconnu a une masse de 9,3 g (masse de l’enveloppe déduite). Quelle est la densité de ce gaz ? De quel gaz peut-il s’agir ? Monte-t-il ou descend-il dans l’air ?

Masse volumique : ρ = 9,3 / 5,0 = 1,86 g/L. Densité : d = 1,86 / 1,2 ≈ 1,55. C’est la valeur du dioxyde de carbone (1,53) ou du propane (1,56) ; un test à l’eau de chaux trancherait. Comme d > 1, ce gaz est plus dense que l’air : il descend et s’accumule au sol.

Le densimètre

Comment mesurer une densité sans peser ni mesurer de volume ? Avec un densimètre (ou aréomètre) : un tube de verre fermé, lesté à sa base par du plomb ou du mercure, que l’on fait flotter dans le liquide à étudier. Plus le liquide est dense, plus le tube flotte haut ; plus il est léger, plus le tube s’enfonce. Une graduation portée sur la tige donne directement la densité au niveau de la surface.

Le densimètre se rencontre partout où la densité renseigne sur une composition. Le pèse-acide contrôle l’électrolyte d’une batterie de voiture : une batterie chargée contient de l’acide sulfurique à d = 1,28, une batterie déchargée à d = 1,10. Le mustimètre mesure le sucre d’un moût de raisin et permet d’en déduire le degré d’alcool futur. L’aquariophile vérifie la salinité de son bac marin. Le garagiste teste l’antigel du circuit de refroidissement, dont la densité indique la température de prise en glace.

Un peu d’histoire

L’idée de comparer les corps à l’eau est très ancienne. La légende veut qu’Archimède, vers 250 avant notre ère, ait été chargé par le roi Hiéron II de Syracuse de vérifier si sa couronne était en or pur ou frauduleusement alliée d’argent, sans la détruire. En entrant dans son bain et en observant l’eau déborder, il aurait compris qu’il pouvait mesurer le volume d’un objet de forme quelconque par le liquide déplacé, et le comparer à sa masse. L’or (d = 19,3) et l’argent (d = 10,5) ayant des densités très différentes, la fraude devenait détectable. Le célèbre « Eurêka ! » est probablement une broderie tardive, mais la méthode, elle, est exacte.

Le mot densité apparaît en français au XVI^e siècle, du latin densitas, épaisseur. Le premier aréomètre est attribué à Hypatie d’Alexandrie, vers l’an 400, d’après une lettre de son élève Synésios de Cyrène qui lui en commande un. L’instrument est perfectionné au XVIII^e siècle par Antoine Baumé, dont l’échelle en « degrés Baumé » est encore employée dans l’industrie sucrière, et par Beaumé et Cartier pour les alcools.

C’est aussi la densité qui a permis, en 1898, de repérer l’argon : Lord Rayleigh avait constaté que le diazote extrait de l’air était plus dense de 0,5 % que celui obtenu chimiquement. Cet écart minuscule, refusé comme erreur de mesure par ses contemporains, l’a conduit avec William Ramsay à découvrir tout un groupe d’éléments inconnus, les gaz nobles, et à obtenir le prix Nobel en 1904.

Exemple 4 — La couronne d’Hiéron

Une couronne a une masse de 1 000 g. Plongée dans l’eau, elle fait déborder 64 cm³. Est-elle en or pur (d = 19,3) ou alliée d’argent (d = 10,5) ?

Masse volumique : ρ = 1 000 / 64 = 15,6 g/cm³, donc d = 15,6. Ce n’est ni 19,3 ni 10,5 : la couronne est un alliage des deux. On peut même estimer les proportions : entre 10,5 et 19,3, la valeur 15,6 se situe à (15,6 − 10,5) / (19,3 − 10,5) ≈ 58 % du chemin, ce qui correspond à peu près à 60 % d’or et 40 % d’argent en volume. L’orfèvre avait bien détourné une partie de l’or.

Les erreurs classiques

Donner une unité à la densité. « d = 19,3 g/cm³ » est faux. La densité est un nombre nu ; c’est la masse volumique qui porte l’unité.

Confondre densité et masse volumique. Elles ont la même valeur en g/cm³ pour les solides et liquides, mais ce ne sont pas les mêmes grandeurs, et le raccourci ne vaut ni en kg/m³ ni pour les gaz.

Utiliser l’eau comme référence pour un gaz. Pour les gaz, la référence est l’air (1,2 g/L).

Croire qu’un objet lourd coule forcément. Un paquebot de 200 000 tonnes flotte, une bille de plomb de 10 g coule. Ce qui compte n’est pas la masse mais la densité moyenne du corps, coque creuse comprise.

Oublier de convertir avant de diviser. Une masse volumique en kg/m³ doit être ramenée en g/cm³ (diviser par 1 000) avant de lire la densité.

Comparer à 1 quand le liquide n’est pas l’eau. Un corps de densité 0,90 flotte sur l’eau mais coule dans l’éthanol (0,79). Il faut comparer aux densités des deux corps en présence.

Lire un densimètre de travers. La lecture se fait au niveau de la surface, l’œil à sa hauteur, densimètre immobile et sans contact avec les parois.

Exercices corrigés

Du calcul direct à la flottaison et aux gaz.

Exercice 1

Définition et unités

4e●○○

1. Donner la définition de la densité d’un solide et la formule correspondante.
2. Quelle est l’unité de la densité ? Justifier.
3. Quelle est la densité de l’eau ? Pourquoi cette valeur ?
4. Un élève écrit « densité du cuivre : 8,96 g/cm³ ». Corriger et expliquer.

Voir la correction

1. C’est le quotient de sa masse volumique par celle de l’eau : d = ρ / ρ_eau.
2. Aucune unité : on divise deux grandeurs de même nature, les unités se simplifient.
3. 1, exactement : l’eau est la référence choisie pour les solides et les liquides.
4. Il faut écrire soit « densité du cuivre : 8,96 », soit « masse volumique du cuivre : 8,96 g/cm³ ». La densité ne porte pas d’unité.

Exercice 2

Calculer des densités

4e●○○

Calculer la densité de :

1. Le marbre, ρ = 2,7 g/cm³.
2. Le plomb, ρ = 11 300 kg/m³.
3. Un liquide dont 250 mL ont une masse de 320 g.
4. Un cube de 3 cm d’arête et de masse 216 g.

Voir la correction

1. d = 2,7 / 1,00 = 2,7.
2. Conversion : 11 300 kg/m³ = 11,3 g/cm³ ; d = 11,3.
3. ρ = 320 / 250 = 1,28 g/cm³ (1 mL = 1 cm³) ; d = 1,28.
4. V = 3³ = 27 cm³ ; ρ = 216 / 27 = 8,0 g/cm³ ; d = 8,0.

Exercice 3

Flotter ou couler

4e●●○

On dispose de : liège (d = 0,24), glace (0,92), PVC (1,4), aluminium (2,7), et de trois liquides : éthanol (0,79), eau (1,00), glycérine (1,26).

1. Quels solides flottent sur l’eau ?
2. Le liège flotte-t-il sur l’éthanol ? Et la glace ?
3. Le PVC flotte-t-il sur la glycérine ?
4. Si l’on verse délicatement les trois liquides dans une éprouvette, dans quel ordre se placent-ils ?

Voir la correction

1. Ceux dont d < 1 : le liège (0,24) et la glace (0,92).
2. Liège : 0,24 < 0,79, il flotte. Glace : 0,92 > 0,79, elle coule dans l’éthanol.
3. 1,4 > 1,26 : le PVC coule dans la glycérine.
4. Du moins dense en haut au plus dense en bas : éthanol (0,79), eau (1,00), glycérine (1,26).

Exercice 4

Densité des gaz et sécurité

4e●●○

On donne, à 20 °C : ρ air = 1,2 g/L ; ρ butane = 2,49 g/L ; ρ méthane = 0,67 g/L.

1. Calculer la densité du butane et celle du méthane.
2. En cas de fuite, où chacun de ces gaz s’accumule-t-il ?
3. Où placer un détecteur de gaz dans une cuisine au gaz de ville (méthane) ? dans un local à bouteilles de butane ?
4. Pourquoi est-il interdit de stocker une bouteille de butane dans une cave ?

Voir la correction

1. Butane : d = 2,49 / 1,2 ≈ 2,1. Méthane : d = 0,67 / 1,2 ≈ 0,56.
2. Le butane (d > 1) descend et s’accumule au sol ; le méthane (d < 1) monte vers le plafond.
3. Gaz de ville : détecteur au plafond. Butane : détecteur près du sol.
4. Parce qu’en cas de fuite, le butane s’accumulerait au point bas, sans pouvoir s’évacuer, jusqu’à former un mélange explosif avec l’air.

Exercice 5

Identifier un métal

3e●●●

Un objet métallique a une masse de 890 g. Plongé dans une éprouvette contenant 200 mL d’eau, il fait monter le niveau à 300 mL.

1. Quel est le volume de l’objet ?
2. Calculer sa masse volumique, puis sa densité.
3. En s’aidant du tableau (aluminium 2,7 ; fer 7,87 ; cuivre 8,96 ; plomb 11,3), identifier le métal.
4. Un autre objet de même métal a une masse de 445 g. Quel volume occupe-t-il ? Quelle sera sa densité ?

Voir la correction

1. V = 300 − 200 = 100 mL = 100 cm³.
2. ρ = 890 / 100 = 8,90 g/cm³ ; d = 8,90.
3. La valeur la plus proche est 8,96 : c’est du cuivre.
4. V = m / ρ = 445 / 8,90 = 50 cm³. La densité est une propriété du matériau : elle vaut toujours 8,90, quelle que soit la taille de l’objet.

Exercice 6

Le bateau et le sous-marin

3e●●●

Un cargo de 30 000 tonnes a une coque dont le volume immergé, en charge, atteint 30 000 m³.

1. Calculer la masse volumique moyenne du navire (masse totale ÷ volume total immergé), puis sa densité moyenne.
2. Expliquer pourquoi un navire en acier (d = 7,87) peut flotter.
3. Un sous-marin remplit ses ballasts d’eau de mer. Que devient sa densité moyenne ? Que se passe-t-il ?
4. Chargé au maximum, le cargo s’enfonce davantage. Sa densité moyenne a-t-elle changé ? Justifier.

Voir la correction

1. ρ = 30 000 000 kg / 30 000 m³ = 1 000 kg/m³ = 1,00 g/cm³, soit d ≈ 1,00 : il flotte tout juste, à la limite d’équilibre.
2. Parce que sa coque est creuse et remplie d’air : c’est la densité moyenne de l’ensemble acier + air qui compte, et elle est inférieure à 1.
3. Elle augmente et dépasse 1 : le sous-marin plonge. En chassant l’eau à l’air comprimé, elle repasse sous 1 et il remonte.
4. Non : en s’enfonçant, il déplace plus d’eau, donc son volume immergé augmente en même temps que sa masse. La densité moyenne du volume immergé reste voisine de 1,00, celle de l’eau : c’est la condition de flottaison.

Quiz : dix questions pour vérifier

1. La densité d’un solide se calcule par…

   d = m / Vd = ρ × ρ eaud = ρ / ρ eaud = V / m
2. L’unité de la densité est…

   le g/cm³le kg/m³le grammeaucune, c’est un nombre sans unité
3. La densité de l’eau vaut…

   01101 000
4. Un corps de densité 0,7 placé dans l’eau…

   couleflottereste entre deux eauxse dissout
5. La masse volumique du plomb est 11 300 kg/m³. Sa densité vaut…

   11 30011311,31,13
6. Pour un gaz, la référence de la densité est…

   l’eaul’airle videle mercure
7. Le butane a une densité de 2,1. En cas de fuite, il…

   monte vers le plafonds’accumule au solreste immobilese dissout dans l’air
8. Un navire en acier (d = 7,87) flotte parce que…

   l’acier flottesa coque creuse abaisse sa densité moyenne sous 1il est très grandl’eau de mer est plus dense
9. Un densimètre s’enfonce d’autant plus que le liquide est…

   plus densemoins denseplus chaudplus coloré
10. Un corps de densité 0,90 placé dans l’éthanol (d = 0,79)…

    flottecoulereste en surfacechange de densité

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Fiche : ce qu’il faut retenir

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