Loi d’Ohm : formule U = R × I, calculateur, caractéristique et exercices corrigés

Calcule U, R ou I

Renseigne deux grandeurs parmi U, R et I : la troisième se calcule, avec la puissance en bonus.

Grandeur à calculer

Tension U Résistance R Intensité I

Tension U

VmVkV

Résistance R

ΩkΩMΩ

Intensité I

AmAµA

CalculerEffacer

Le résultat s’affiche ici, avec le détail du calcul, la puissance dissipée et le schéma du circuit mis à jour.

Qu’est-ce que la loi d’Ohm ?

Branchez un résistor sur une pile de 1,5 V et mesurez le courant qui le traverse : disons 10 mA. Remplacez la pile par deux piles en série, 3 V : le courant passe à 20 mA. Avec 4,5 V, 30 mA. À chaque fois que la tension est multipliée par un nombre, l’intensité est multipliée par le même nombre. La tension et l’intensité sont proportionnelles, et le coefficient qui les relie ne dépend que du résistor lui-même.

C’est cette observation que le physicien allemand Georg Simon Ohm a publiée en 1827, après des années de mesures méticuleuses avec des fils de différentes longueurs et différents métaux. Personne ne l’a crue tout de suite ; la loi porte aujourd’hui son nom, et l’unité de résistance aussi.

La loi d’Ohm relie trois grandeurs électriques que vous mesurez au collège :

• la tension U aux bornes du dipôle, en volts (V), mesurée avec un voltmètre branché en dérivation ;
• l’intensité I du courant qui le traverse, en ampères (A), mesurée avec un ampèremètre branché en série ;
• la résistance R du dipôle, en ohms (Ω), qui caractérise sa capacité à s’opposer au passage du courant.

Un dipôle qui obéit à la loi d’Ohm s’appelle un résistor, ou conducteur ohmique. Dans le langage courant on dit « une résistance », mais en physique la résistance est la grandeur (le nombre en ohms) et le résistor est le composant.

La formule : U = R × I

$$U=R\times I$$

Avec :

• U la tension aux bornes du résistor, en volts (V) ;
• R la résistance du résistor, en ohms (Ω) ;
• I l’intensité du courant qui traverse le résistor, en ampères (A).

En exercice, on cherche aussi souvent la résistance ou l’intensité. La même relation s’écrit alors sous deux autres formes :

$$R=\frac{U}{I}\text{et}I=\frac{U}{R}$$

La formule dit deux choses. D’abord que plus la résistance est grande, plus l’intensité est faible pour une tension donnée : un résistor de 1 000 Ω laisse passer dix fois moins de courant qu’un résistor de 100 Ω. Ensuite que la résistance d’un résistor est une constante : quelle que soit la tension qu’on lui applique, le rapport U / I ne change pas. C’est cette constance qui distingue le résistor des autres dipôles.

Les unités et leurs préfixes

Les trois grandeurs de la loi d’Ohm couvrent des ordres de grandeur très différents. Un circuit de collège fonctionne sous quelques volts avec des courants de quelques dizaines de milliampères et des résistances de quelques centaines d’ohms ; une ligne à très haute tension transporte 400 000 V ; un ohmmètre mesure la résistance d’un isolant en mégaohms. On utilise donc les préfixes du Système international.

Le montage : mesurer U et I en même temps

Pour vérifier la loi d’Ohm, il faut mesurer simultanément la tension aux bornes du résistor et l’intensité qui le traverse. Le montage est toujours le même, et il faut le connaître par cœur.

Deux règles à ne jamais oublier :

• l’ampèremètre se branche en série : on ouvre le circuit et on l’insère dans la boucle, pour que tout le courant le traverse. Bornes utilisées : COM et mA (ou A pour les forts courants) ;
• le voltmètre se branche en dérivation : on relie ses deux bornes aux deux bornes du résistor, sans rien débrancher. Bornes utilisées : COM et V.

On règle le calibre de chaque appareil juste au-dessus de la valeur attendue, et on commence toujours par le calibre le plus élevé quand on ne connaît pas l’ordre de grandeur. Un ampèremètre branché par erreur en dérivation se comporte comme un fil : il court-circuite le dipôle et son fusible grille.

La caractéristique d’un résistor

La caractéristique d’un dipôle est le graphique qui représente la tension U à ses bornes en fonction de l’intensité I qui le traverse. C’est l’expérience centrale du chapitre en troisième.

Voici un tableau de mesures typique, obtenu avec un résistor marqué 47 Ω :

Le rapport U / I est constant à moins de 2 % près, ce qui est la précision des appareils. Le résistor vaut environ 48 Ω, en accord avec sa valeur nominale de 47 Ω et sa tolérance de 5 %.

Dipôles ohmiques et non ohmiques

La caractéristique d’un résistor est une droite passant par l’origine : c’est la traduction graphique de la proportionnalité. Tous les dipôles n’ont pas cette propriété.

• Une lampe à incandescence a une caractéristique courbée : quand le courant augmente, le filament chauffe (jusqu’à 2 500 °C), et la résistance du tungstène augmente avec la température. Une lampe de 12 V, 21 W a une résistance d’environ 1 Ω à froid et de 7 Ω en fonctionnement.
• Une diode ne laisse passer le courant que dans un sens, et seulement au-delà d’une tension de seuil (0,6 V pour une diode au silicium, 2 à 3 V pour une DEL). Sa caractéristique n’est pas une droite du tout.
• Un moteur ou un électrolyseur ont une caractéristique qui ne passe pas par l’origine.

Pour ces dipôles, on peut toujours calculer le rapport U / I à un instant donné, mais il change d’un point à l’autre : ce n’est plus une constante, et la loi d’Ohm ne s’applique pas.

Lire la valeur d’un résistor : le code des couleurs

Les résistors sont trop petits pour qu’on y imprime un nombre : leur valeur est codée par des anneaux de couleur. Les quatre anneaux se lisent en plaçant l’anneau or ou argent (la tolérance) à droite.

Un moyen de retenir l’ordre des dix couleurs, de 0 à 9 : « Ne Mangez Rien Ou Jeûnez, Voilà Bien Votre Grande Bêtise » (noir, marron, rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet, gris, blanc).

Exemples résolus

Exemple 1 — Calculer une tension

Énoncé. Un résistor de 220 Ω est traversé par un courant de 20 mA. Quelle est la tension à ses bornes ?

Résolution.

1. Grandeur cherchée : U, donc U = R × I.
2. Conversion : 20 mA = 0,020 A.
3. U = 220 × 0,020 = 4,4 V.

Interprétation. C’est à peu près la tension d’une pile plate de 4,5 V : ce résistor de 220 Ω est justement celui que l’on met en série avec une DEL pour la protéger sur une pile de 4,5 V.

Exemple 2 — Calculer une résistance à partir de mesures

Énoncé. Aux bornes d’un dipôle, le voltmètre indique 6,0 V et l’ampèremètre 125 mA. Calculer sa résistance. Quel résistor de la série normalisée E12 (10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82 et leurs multiples) peut-il être ?

Résolution.

1. R = U / I.
2. 125 mA = 0,125 A.
3. R = 6,0 / 0,125 = 48 Ω.

Interprétation. La valeur normalisée la plus proche est 47 Ω. L’écart de 2 % est dans la tolérance de 5 % indiquée par l’anneau or.

Exemple 3 — Calculer une intensité

Énoncé. Une lampe de poche utilise un résistor de 1,5 kΩ branché sur une pile de 9 V. Quelle intensité le traverse ?

Résolution.

1. I = U / R.
2. 1,5 kΩ = 1 500 Ω.
3. I = 9 / 1 500 = 0,006 A = 6 mA.

Interprétation. Six milliampères, c’est un courant très faible : ce résistor sert à limiter le courant dans un voyant lumineux, pas à alimenter une ampoule. La puissance dissipée, P = U × I = 9 × 0,006 = 0,054 W, est bien inférieure au quart de watt que supporte un petit résistor.

Exemple 4 — Choisir la résistance de protection d’une DEL

Énoncé. Une DEL rouge fonctionne correctement sous une tension de 2,0 V avec un courant de 20 mA. On veut l’alimenter avec une pile de 4,5 V. Quelle résistance faut-il placer en série ?

Résolution.

1. Dans un circuit en série, les tensions s’ajoutent : le résistor doit « absorber » 4,5 − 2,0 = 2,5 V.
2. Le même courant de 20 mA = 0,020 A traverse le résistor et la DEL (circuit en série).
3. R = U / I = 2,5 / 0,020 = 125 Ω.
4. On choisit la valeur normalisée immédiatement supérieure pour être sûr de ne pas dépasser 20 mA : 150 Ω (ou 220 Ω, très courant, qui donne alors 11 mA : la DEL brille un peu moins mais est parfaitement protégée).

La loi d’Ohm au quotidien

Le chauffage électrique. Un radiateur, un grille-pain ou une bouilloire ne sont que des résistors conçus pour chauffer. Une bouilloire de 2 000 W sous 230 V est traversée par I = P / U = 8,7 A ; sa résistance vaut R = 230 / 8,7 ≈ 26 Ω. Plus la résistance est faible, plus le courant est grand et plus l’appareil chauffe.

Les fusibles et disjoncteurs. Si un appareil défectueux voit sa résistance chuter (un court-circuit, c’est une résistance quasi nulle), la loi d’Ohm prédit un courant énorme : I = 230 / 0,1 = 2 300 A. Le disjoncteur coupe le circuit au-delà de 16 ou 20 A, bien avant que les fils ne fondent.

La sécurité électrique. Le corps humain est un résistor d’environ 1 000 Ω les mains mouillées, jusqu’à 100 000 Ω peau sèche. Sous 230 V, mains mouillées : I = 230 / 1 000 = 0,23 A = 230 mA. Or 30 mA suffisent à provoquer un arrêt cardiaque. C’est pour cela que la tension limite de sécurité est fixée à 50 V en milieu sec et 25 V en milieu humide, et que les disjoncteurs différentiels des salles de bains coupent au-delà de 30 mA de fuite.

Les fils électriques. Un fil de cuivre de 1 mm² a une résistance de 0,017 Ω par mètre. Sur une rallonge de 25 m (50 m de fil aller-retour), cela fait 0,85 Ω. Avec un appareil de 10 A, la tension « perdue » dans la rallonge vaut U = 0,85 × 10 = 8,5 V, et la puissance dissipée en chaleur 85 W : une rallonge trop fine chauffe, c’est un risque d’incendie.

Les erreurs à éviter

• Oublier de convertir les milliampères. 25 mA = 0,025 A. Une résistance de 0,18 Ω calculée à partir de 4,5 V et 25 mA, c’est le signe qu’on a oublié le facteur 1 000 (la bonne réponse est 180 Ω).
• Inverser R et I dans les formes dérivées. R = U / I : la tension en haut. L’ohm est un volt par ampère.
• Appliquer la loi d’Ohm à une lampe ou une diode. Elle ne vaut que pour les résistors. Pour une lampe, U / I varie avec la température du filament.
• Brancher le voltmètre en série ou l’ampèremètre en dérivation. Le voltmètre en série coupe pratiquement le circuit (sa résistance est énorme) ; l’ampèremètre en dérivation court-circuite le dipôle et grille son fusible.
• Tracer la caractéristique en reliant les points à la règle un par un. On trace une seule droite qui passe au plus près de tous les points et par l’origine ; les petits écarts sont des incertitudes de mesure.
• Donner une résistance sans unité. « R = 47 » n’est pas une réponse ; « R = 47 Ω » l’est.
• Croire que la résistance dépend de la tension. Pour un résistor, R est fixée par le composant. Changer la tension change l’intensité, pas la résistance.

Exercices corrigés

Exercice 1

Application directe

3e●○○

Un résistor de 100 Ω est traversé par un courant de 50 mA.

1. Convertir l’intensité en ampères.
2. Calculer la tension aux bornes du résistor.
3. Que devient cette tension si l’intensité double ?

Voir la correction

1. 50 mA = 0,050 A.
2. U = R × I = 100 × 0,050 = 5,0 V.
3. Si I double, U double aussi (proportionnalité) : 10 V. La résistance, elle, ne change pas.

Exercice 2

Trois formes de la loi

3e●○○

Compléter le tableau en appliquant la loi d’Ohm (les trois dipôles sont des résistors).

Dipôle	U (V)	R (Ω)	I (A)
A	12	60	?
B	?	330	0,015
C	4,5	?	0,030

Voir la correction

• A : I = U / R = 12 / 60 = 0,20 A (200 mA).
• B : U = R × I = 330 × 0,015 = 4,95 V ≈ 5,0 V.
• C : R = U / I = 4,5 / 0,030 = 150 Ω.

Exercice 3

Exploiter une caractéristique

3e●●○

On a relevé la caractéristique d’un dipôle :

I (mA)	0	10	20	30	40	50
U (V)	0	0,68	1,36	2,04	2,72	3,40

1. Ce dipôle est-il un résistor ? Justifier sans tracer le graphique.
2. Calculer sa résistance.
3. Quelle intensité le traverserait sous 4,5 V ?

Voir la correction

1. On calcule U / I pour chaque couple : 0,68 / 0,010 = 68 ; 1,36 / 0,020 = 68 ; 2,04 / 0,030 = 68 ; etc. Le rapport est constant, donc U est proportionnelle à I : c’est un résistor. (Sur un graphique, on obtiendrait une droite passant par l’origine.)
2. R = U / I = 68 Ω.
3. I = U / R = 4,5 / 68 ≈ 0,066 A = 66 mA.

Exercice 4

Lecture du code des couleurs et vérification

3e●●○

Un résistor porte les anneaux rouge, rouge, rouge, or.

1. Quelle est sa valeur nominale et sa tolérance ?
2. Entre quelles valeurs sa résistance réelle peut-elle se situer ?
3. On mesure U = 5,2 V et I = 2,3 mA. La mesure est-elle compatible avec le code des couleurs ?

Voir la correction

1. Rouge = 2, rouge = 2, rouge = × 100, or = ± 5 % : 22 × 100 = 2 200 Ω = 2,2 kΩ, ± 5 %.
2. 5 % de 2 200 = 110 Ω. La résistance réelle est comprise entre 2 090 Ω et 2 310 Ω.
3. R = U / I = 5,2 / 0,0023 ≈ 2 260 Ω. C’est dans l’intervalle de tolérance : la mesure est compatible.

Exercice 5

Résistance de protection et puissance

3e●●●

On veut alimenter une DEL blanche (3,2 V ; 25 mA) avec une alimentation de 12 V, en plaçant un résistor en série.

1. Quelle tension doit-il y avoir aux bornes du résistor ?
2. Calculer la résistance nécessaire, puis choisir une valeur normalisée (série E12).
3. Calculer la puissance dissipée par le résistor avec la valeur choisie. Un résistor de ¼ W convient-il ?

Voir la correction

1. En série, les tensions s’ajoutent : U(résistor) = 12 − 3,2 = 8,8 V.
2. R = U / I = 8,8 / 0,025 = 352 Ω. On prend la valeur normalisée supérieure : 390 Ω. Le courant sera alors I = 8,8 / 390 ≈ 22,6 mA, un peu sous les 25 mA maximum : parfait.
3. P = U × I = 8,8 × 0,0226 ≈ 0,20 W. Un résistor de ¼ W (0,25 W) convient, mais de justesse : il chauffera. Un modèle ½ W serait plus confortable.

Exercice 6

Sécurité électrique

3e●●●

La résistance du corps humain entre les deux mains vaut environ 100 kΩ quand la peau est sèche et 1 kΩ quand elle est mouillée. Un courant de 30 mA peut être mortel.

1. Calculer l’intensité qui traverserait une personne touchant les deux bornes du secteur (230 V), peau sèche puis peau mouillée.
2. Quelle tension maximale ne faut-il pas dépasser, peau mouillée, pour rester sous 30 mA ? Comparer à la tension limite de sécurité en milieu humide (25 V).
3. Pourquoi les prises des salles de bains sont-elles protégées par un disjoncteur différentiel 30 mA ?

Voir la correction

1. Peau sèche : I = 230 / 100 000 = 0,0023 A = 2,3 mA (désagréable mais pas mortel). Peau mouillée : I = 230 / 1 000 = 0,23 A = 230 mA, près de huit fois la valeur mortelle.
2. U = R × I = 1 000 × 0,030 = 30 V. La norme fixe 25 V en milieu humide, avec une marge de sécurité : cohérent.
3. Un différentiel 30 mA compare le courant qui entre et celui qui sort de l’installation. Si 30 mA « s’échappent » par une personne, il coupe en quelques millisecondes, avant que le courant ait le temps de provoquer un arrêt cardiaque.

Quiz : maîtrises-tu la loi d’Ohm ?

1. La loi d’Ohm s’écrit…

   U = R / IU = R × IR = U × II = U × R
2. L’unité de la résistance est…

   le voltl’ampèrel’ohmle watt
3. Un résistor de 470 Ω sous 4,7 V est traversé par…

   0,01 A0,1 A1 A10 A
4. La caractéristique d’un résistor est…

   une courbe qui se redresseune droite passant par l’origineune droite horizontaleune droite qui ne passe pas par l’origine
5. Pour mesurer l’intensité qui traverse un résistor, l’ampèremètre se branche…

   en dérivation aux bornes du résistoren série dans le circuitn’importe oùaux bornes du générateur
6. On mesure U = 6 V et I = 30 mA. La résistance vaut…

   0,2 Ω5 Ω180 Ω200 Ω
7. Lequel de ces dipôles suit la loi d’Ohm ?

   une lampe à incandescenceune DELun résistorun moteur
8. Un résistor porte les anneaux marron, noir, rouge, or. Sa valeur est…

   10 Ω100 Ω1 000 Ω1 kΩ ± 10 %

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