La loi d’Ohm en 3e : énoncé, caractéristique d’un résistor, expérience et exercices

Une loi née de mesures patientes

En 1826, Georg Simon Ohm, professeur de mathématiques dans un lycée de Cologne, n’a ni laboratoire ni assistant. Il fabrique lui-même ses fils, de longueurs et de métaux différents, et il mesure avec une balance de torsion la force magnétique produite par le courant qui les traverse, faute d’ampèremètre. Pour obtenir une tension stable, il remplace la pile, dont la tension baissait pendant les mesures, par un thermocouple : deux métaux soudés, dont une jonction plonge dans la glace fondante et l’autre dans l’eau bouillante.

Ce qu’il trouve est simple : pour un fil donné, le courant est proportionnel à la tension appliquée ; et à tension donnée, il est inversement proportionnel à la longueur du fil et proportionnel à sa section. Il publie en 1827 Le circuit galvanique étudié mathématiquement. Le livre est mal reçu : en Allemagne, la physique se veut alors descriptive, et l’on juge déplacé d’y mettre des équations. Ohm perd son poste et attend quinze ans une reconnaissance venue d’Angleterre.

Cette loi est aujourd’hui la première relation quantitative que l’on apprend en électricité, parce qu’elle relie les deux grandeurs mesurables d’un circuit, la tension et l’intensité, par un seul nombre qui caractérise le composant.

L’énoncé et le vocabulaire

$$U=R\times I$$

• U est la tension aux bornes du dipôle, en volts (V), mesurée avec un voltmètre en dérivation ;
• I est l’intensité du courant qui le traverse, en ampères (A), mesurée avec un ampèremètre en série ;
• R est la résistance du dipôle, en ohms (Ω), un nombre positif qui ne dépend que du composant.

Le mot « proportionnel » est le cœur de l’énoncé. Il signifie trois choses à la fois : si I double, U double ; si I est nulle, U est nulle ; et le rapport U / I est toujours le même. C’est ce rapport constant que l’on appelle résistance. Un dipôle pour lequel c’est vrai s’appelle un résistor, ou conducteur ohmique, ou encore dipôle ohmique. Le composant lui-même est souvent appelé « une résistance » dans le langage courant ; en physique, on réserve ce mot à la grandeur R.

Les trois formes de la relation servent selon ce que l’on cherche. Leur manipulation, les unités et les calculs numériques sont traités en détail sur la page du calculateur loi d’Ohm ; cette page se concentre sur la loi elle-même : comment on l’établit, comment on la lit sur un graphique, et où elle cesse d’être vraie.

$$U=R\times I\text{;}R=\frac{U}{I}\text{;}I=\frac{U}{R}$$

Établir la loi : l’expérience de troisième

La loi d’Ohm ne se démontre pas au tableau : elle se constate au laboratoire. C’est l’expérience centrale du chapitre, et elle est attendue au brevet sous forme de schéma à compléter, de tableau à exploiter ou de graphique à tracer.

Voici des mesures réelles obtenues avec un résistor marqué 100 Ω (tolérance 5 %) :

Le rapport U / I vaut 101 ou 102 Ω pour tous les couples : il est constant à 1 % près, ce qui est l’incertitude des multimètres. La proportionnalité est établie ; la résistance mesurée, 102 Ω, est compatible avec la valeur nominale de 100 Ω ± 5 Ω.

Lire une caractéristique

La caractéristique d’un dipôle est le graphique de U en fonction de I. Celle d’un résistor est une droite passant par l’origine, et tout ce que dit la loi d’Ohm s’y lit directement.

Trois lectures à maîtriser :

1. Reconnaître un résistor : les points sont alignés et la droite passe par l’origine. Une droite qui ne passe pas par l’origine (un moteur, un électrolyseur) ou une courbe (une lampe) ne sont pas des caractéristiques de résistor.
2. Déterminer R : choisir un point bien lisible de la droite, de préférence loin de l’origine pour limiter l’erreur de lecture, et calculer U / I. Le point (50 mA ; 5,0 V) donne 5,0 / 0,050 = 100 Ω. On peut aussi utiliser un « triangle » ΔU / ΔI entre deux points quelconques de la droite.
3. Comparer deux résistors : la droite la plus raide correspond à la plus grande résistance (il faut plus de tension pour le même courant). Un résistor de 200 Ω a une caractéristique deux fois plus pentue qu’un résistor de 100 Ω.

Les limites de la loi d’Ohm

La loi d’Ohm est une loi empirique : elle décrit le comportement de certains composants dans certaines conditions, elle n’est pas une loi universelle comme la conservation de l’énergie. Trois cas la mettent en défaut.

La température. La résistance d’un métal augmente avec sa température (environ 0,4 % par degré pour le cuivre). Un résistor parcouru par un courant trop fort chauffe, sa résistance dérive et le rapport U / I n’est plus tout à fait constant. Les résistors de laboratoire sont fabriqués avec des alliages (constantan, manganin) dont la résistance varie très peu avec la température, justement pour rester ohmiques.

Les dipôles non ohmiques. Une lampe à incandescence a une caractéristique courbée : son filament passe de 20 °C à 2 500 °C et sa résistance est multipliée par dix. Une diode ne conduit que dans un sens et seulement au-delà d’une tension de seuil. Une thermistance voit sa résistance chuter quand elle chauffe ; une photorésistance, quand on l’éclaire. Pour ces composants, on peut toujours calculer U / I en un point, mais cette valeur n’a pas de sens général.

Les tensions extrêmes. Sous une tension trop élevée, un isolant « claque » et devient brutalement conducteur ; un résistor peut griller. La loi d’Ohm ne décrit le composant que dans sa plage d’utilisation normale.

La loi d’Ohm dans un circuit

Un circuit réel comporte plusieurs dipôles. La loi d’Ohm se combine alors avec les lois des circuits vues en quatrième : loi d’additivité des tensions en série, loi d’unicité de l’intensité en série, loi des nœuds en dérivation.

Deux résistors en série. Le même courant I les traverse ; les tensions s’ajoutent : U = U₁ + U₂ = R₁ I + R₂ I = (R₁ + R₂) I. L’ensemble se comporte comme un seul résistor de résistance R = R₁ + R₂. Mettre des résistors en série augmente la résistance ; c’est ainsi que l’on fabrique une valeur qui n’existe pas dans la boîte (100 + 47 = 147 Ω).

Deux résistors en dérivation. La même tension U est à leurs bornes ; les intensités s’ajoutent : I = I₁ + I₂ = U / R₁ + U / R₂. La résistance équivalente vérifie 1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂ ; elle est plus petite que chacune des deux. Deux résistors identiques en dérivation valent la moitié d’un seul.

Le diviseur de tension. Quand deux résistors sont en série sous une tension U, la tension aux bornes de chacun est proportionnelle à sa résistance : U₁ = U × R₁ / (R₁ + R₂). C’est le principe du potentiomètre, ce bouton rotatif qui règle un volume ou une luminosité : il partage la tension entre deux portions d’une piste résistive.

À quoi sert la loi d’Ohm ?

• Dimensionner une protection. La résistance à mettre en série avec une DEL, un moteur ou un capteur se calcule par R = U / I à partir du courant à ne pas dépasser.
• Mesurer une résistance sans ohmmètre. Un voltmètre et un ampèremètre suffisent : c’est la méthode volt-ampèremétrique, celle du protocole ci-dessus.
• Fabriquer des capteurs. Une thermistance, une photorésistance ou une jauge de contrainte sont des résistors dont R dépend d’une grandeur physique. On mesure U et I, on calcule R, on en déduit la température, l’éclairement ou la déformation. C’est le principe des thermomètres électroniques et des balances de cuisine.
• Comprendre la sécurité électrique. Le corps humain est un résistor de 1 à 100 kΩ ; la loi d’Ohm donne le courant qui le traverserait sous une tension donnée, et fixe les seuils de 50 V et 30 mA.
• Transporter l’électricité. Les pertes dans une ligne sont R × I² : à puissance égale, on élève la tension pour réduire le courant. Sans la loi d’Ohm, pas de réseau à 400 kV.

Exemples résolus

Exemple 1 — Ce dipôle est-il un résistor ?

Énoncé. Pour un dipôle, on relève : (0,10 A ; 2,2 V), (0,20 A ; 4,4 V), (0,30 A ; 6,6 V), (0,40 A ; 8,8 V). Le dipôle est-il ohmique ? Si oui, quelle est sa résistance ?

Résolution.

1. On calcule U / I pour chaque couple : 22 ; 22 ; 22 ; 22 Ω. Le rapport est constant.
2. Quand I double (0,10 → 0,20 A), U double (2,2 → 4,4 V) : proportionnalité vérifiée. Sur un graphique, les points seraient alignés avec l’origine.
3. Le dipôle est un résistor de 22 Ω.

Exemple 2 — Lire une résistance sur une caractéristique

Énoncé. La caractéristique d’un résistor passe par le point (25 mA ; 6,0 V). Quelle est sa résistance ? Quelle tension lira-t-on pour 40 mA ?

Résolution.

1. R = U / I = 6,0 / 0,025 = 240 Ω (25 mA convertis en 0,025 A).
2. U = R × I = 240 × 0,040 = 9,6 V. On peut aussi raisonner par proportionnalité : 40 / 25 = 1,6, donc U = 6,0 × 1,6 = 9,6 V.

Exemple 3 — Une lampe n’est pas un résistor

Énoncé. Pour une lampe, on mesure (0,10 A ; 0,5 V), (0,20 A ; 1,6 V), (0,30 A ; 3,6 V). Montrer que la loi d’Ohm ne s’applique pas et expliquer pourquoi.

Résolution.

1. U / I = 5 Ω ; 8 Ω ; 12 Ω. Le rapport n’est pas constant : U n’est pas proportionnelle à I.
2. Le rapport augmente avec I : plus le courant est fort, plus le filament chauffe, plus sa résistance est grande. La caractéristique s’incurve vers le haut.
3. La loi d’Ohm ne s’applique pas ; on peut seulement dire que « la résistance de la lampe vaut 12 Ω en fonctionnement à 0,30 A ».

Exemple 4 — Deux résistors en série

Énoncé. Un résistor de 150 Ω et un résistor de 100 Ω sont branchés en série sur un générateur de 10 V. Calculer l’intensité du courant et la tension aux bornes de chaque résistor.

Résolution.

1. Résistance équivalente : R = 150 + 100 = 250 Ω.
2. I = U / R = 10 / 250 = 0,040 A = 40 mA, le même dans tout le circuit (série).
3. U₁ = 150 × 0,040 = 6,0 V ; U₂ = 100 × 0,040 = 4,0 V. Vérification : 6,0 + 4,0 = 10 V, la loi d’additivité des tensions est respectée. Le plus grand résistor reçoit la plus grande tension.

Les erreurs à éviter

• Dire que « U = R × I » suffit à énoncer la loi d’Ohm. Au brevet, l’énoncé en français est attendu : la tension est proportionnelle à l’intensité ; la formule vient ensuite.
• Conclure « résistor » sur des points alignés sans vérifier l’origine. Un moteur donne des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l’origine.
• Tracer la droite point par point. On trace une droite moyenne, unique, qui passe au plus près des points et par l’origine.
• Lire R sur un point trop proche de l’origine. Les petites valeurs sont imprécises ; prendre un point éloigné ou le triangle ΔU / ΔI.
• Appliquer la loi à une lampe. Le rapport U / I d’une lampe change avec le courant.
• Oublier de convertir les mA. 25 mA = 0,025 A avant tout calcul.
• Confondre la pente selon les axes. U en fonction de I : pente = R. I en fonction de U : pente = 1 / R.

Exercices corrigés

Exercice 1

Énoncer et écrire

3e●○○

1. Énoncer la loi d’Ohm en une phrase.
2. Écrire la formule en précisant les unités de chaque grandeur.
3. Comment appelle-t-on un dipôle qui vérifie cette loi ? Citer deux dipôles qui ne la vérifient pas.

Voir la correction

1. La tension aux bornes d’un résistor est proportionnelle à l’intensité du courant qui le traverse.
2. U = R × I, avec U en volts (V), R en ohms (Ω), I en ampères (A).
3. Un résistor (conducteur ohmique). Ne la vérifient pas : une lampe à incandescence, une diode (aussi : un moteur, une thermistance).

Exercice 2

Exploiter un tableau

3e●○○

Pour un dipôle inconnu : (5 mA ; 1,1 V), (10 mA ; 2,2 V), (15 mA ; 3,3 V), (20 mA ; 4,4 V).

1. Convertir les intensités en ampères.
2. Le dipôle est-il un résistor ? Justifier par le calcul.
3. Donner sa résistance en Ω puis en kΩ.

Voir la correction

1. 0,005 ; 0,010 ; 0,015 ; 0,020 A.
2. U / I = 220 Ω pour les quatre couples : rapport constant, c’est un résistor.
3. R = 220 Ω = 0,22 kΩ.

Exercice 3

Tracer et exploiter une caractéristique

3e●●○

On mesure pour un résistor : (0 ; 0), (20 mA ; 1,3 V), (40 mA ; 2,6 V), (60 mA ; 3,9 V), (80 mA ; 5,2 V).

1. Choisir des échelles pour tracer U = f(I) sur une feuille de 15 cm × 10 cm.
2. Décrire l’allure de la caractéristique obtenue.
3. Déterminer R graphiquement, en expliquant la méthode.
4. Un cinquième point mesuré donne (100 mA ; 7,2 V). Est-il compatible avec les autres ? Que faire ?

Voir la correction

1. Abscisses : 1 cm pour 10 mA (80 mA → 8 cm sur 15). Ordonnées : 1 cm pour 0,5 V (5,2 V → 10,4 cm ; on prendra 1 cm pour 0,6 V si la feuille fait exactement 10 cm).
2. Une droite passant par l’origine : U proportionnelle à I, le dipôle est un résistor.
3. On choisit un point éloigné de l’origine, par exemple (80 mA ; 5,2 V) : R = 5,2 / 0,080 = 65 Ω. (La valeur normalisée la plus proche est 68 Ω.)
4. Sur la droite, 100 mA devraient donner 6,5 V. Le point à 7,2 V est nettement à l’écart : mesure aberrante, probablement une erreur de lecture ou un résistor qui a chauffé. On le refait avant de conclure.

Exercice 4

Comparer deux résistors sur un graphique

3e●●○

Sur un même graphique U = f(I), la caractéristique du résistor A passe par (40 mA ; 2 V) et celle du résistor B par (40 mA ; 6 V).

1. Laquelle des deux droites est la plus raide ?
2. Calculer R_A et R_B.
3. Si l’on avait tracé I = f(U), laquelle serait la plus raide ?

Voir la correction

1. Celle de B : pour la même intensité, la tension est plus grande.
2. R_A = 2 / 0,040 = 50 Ω ; R_B = 6 / 0,040 = 150 Ω.
3. Sur I = f(U), la pente vaut 1 / R : la plus raide serait celle de A, la plus petite résistance.

Exercice 5

Résistors en série et diviseur de tension

3e●●●

Un générateur de 12 V alimente en série un résistor R₁ = 200 Ω et un résistor R₂ inconnu. Un voltmètre aux bornes de R₁ indique 4,0 V.

1. Calculer l’intensité du courant.
2. En déduire la tension aux bornes de R₂ puis sa résistance.
3. Quelle est la résistance équivalente du circuit ? Retrouver l’intensité à partir d’elle.

Voir la correction

1. I = U₁ / R₁ = 4,0 / 200 = 0,020 A = 20 mA, le même dans tout le circuit.
2. Additivité des tensions : U₂ = 12 − 4,0 = 8,0 V ; R₂ = 8,0 / 0,020 = 400 Ω.
3. R = 200 + 400 = 600 Ω ; I = 12 / 600 = 0,020 A : cohérent. R₂ est deux fois plus grand que R₁ et reçoit deux fois plus de tension.

Exercice 6

Une thermistance comme thermomètre

3e●●●

Une thermistance est alimentée sous 5,0 V. À 20 °C, l’ampèremètre indique 2,5 mA ; à 40 °C, 5,0 mA ; à 60 °C, 9,1 mA.

1. Calculer la résistance de la thermistance à chaque température.
2. La thermistance est-elle un résistor au sens de la loi d’Ohm ? Justifier.
3. On mesure 3,4 mA. Estimer la température.
4. Pourquoi ce composant est-il utilisé dans les thermomètres électroniques ?

Voir la correction

1. R = U / I : 5,0 / 0,0025 = 2 000 Ω à 20 °C ; 5,0 / 0,0050 = 1 000 Ω à 40 °C ; 5,0 / 0,0091 ≈ 550 Ω à 60 °C.
2. À tension fixée, U / I change avec la température : ce n’est pas un résistor ohmique. À température fixée, en revanche, elle se comporte comme un résistor.
3. R = 5,0 / 0,0034 ≈ 1 470 Ω, entre 2 000 Ω (20 °C) et 1 000 Ω (40 °C) : environ 30 °C (une interpolation linéaire donne 30,6 °C ; la relation réelle n’est pas linéaire, mais l’ordre de grandeur est bon).
4. Parce que sa résistance dépend fortement et de façon reproductible de la température : mesurer R, c’est mesurer T. C’est un capteur.

Quiz : la loi d’Ohm

1. La loi d’Ohm dit que, pour un résistor, la tension est…

   égale à l’intensitéproportionnelle à l’intensitéinversement proportionnelle à l’intensitéindépendante de l’intensité
2. La caractéristique d’un résistor est…

   une droite qui ne passe pas par l’origineune droite passant par l’origineune courbeune horizontale
3. Sur une caractéristique U = f(I), la pente de la droite est…

   l’intensitéla tensionla résistance1 / R
4. Un dipôle donne U / I = 10 Ω puis 15 Ω puis 22 Ω quand I augmente. C’est…

   un résistor de 15 Ωun dipôle non ohmique, par exemple une lampeun résistor mal mesuréimpossible
5. Deux résistors de 100 Ω et 50 Ω en série équivalent à…

   150 Ω50 Ω33 Ω75 Ω
6. Deux résistors de 100 Ω en dérivation équivalent à…

   200 Ω100 Ω50 Ω0 Ω
7. Pour déterminer R sur une caractéristique, il vaut mieux choisir un point…

   près de l’origineloin de l’originen’importe lequelhors de la droite
8. Georg Ohm a publié sa loi en…

   1727182719271881

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