Calculateur · Énergie · Troisième
Énergie cinétique : formule Ec = ½ m v², calculateur, unités et exercices corrigés
Calculateur d’énergie cinétique Ec = ½ m v² : formule, unités (kg, m/s, joule), pourquoi la vitesse au carré, sécurité routière, distance de freinage, exercices corrigés.
Réponse en 30 secondes
L’énergie cinétique est l’énergie que possède un objet du fait de son mouvement. Elle se calcule par Ec = ½ × m × v², en joules, avec la masse m en kilogrammes et la vitesse v en mètres par seconde. Elle dépend du carré de la vitesse : rouler deux fois plus vite, c’est quatre fois plus d’énergie.
Calcule Ec, v ou m — et compare deux vitesses
Le résultat s’affiche ici, avec le détail du calcul, des repères et la comparaison des deux vitesses.
Qu’est-ce que l’énergie cinétique ?
Un ballon posé au sol ne peut rien faire. Le même ballon lancé à 100 km/h peut casser une vitre. Ce qu’il a gagné entre les deux, c’est de l’énergie cinétique : l’énergie que possède un objet parce qu’il est en mouvement, et qu’il peut céder à ce qu’il heurte.
Le mot vient du grec kinêsis, « mouvement ». Deux grandeurs la déterminent :
- la masse de l’objet : à vitesse égale, un camion a plus d’énergie cinétique qu’un vélo ;
- la vitesse de l’objet : à masse égale, une voiture à 90 km/h en a bien plus qu’à 50 km/h. Et pas simplement « plus » : beaucoup plus, comme on va le voir.
L’énergie cinétique se note Ec et se mesure, comme toute énergie, en joules (J). Un joule est une petite quantité : c’est l’énergie cinétique d’une pomme de 100 g qui se déplace à 4,5 m/s, ou celle d’un marcheur pendant un pas. Les énergies des véhicules se comptent en kilojoules (kJ) et en mégajoules (MJ).
La formule : Ec = ½ m v²
Avec :
- Ec l’énergie cinétique, en joules (J) ;
- m la masse de l’objet, en kilogrammes (kg) ;
- v sa vitesse, en mètres par seconde (m/s).
Le facteur ½ vient du calcul qui relie l’énergie au travail de la force qui met l’objet en mouvement ; au collège, on l’admet. L’essentiel est de retenir que la vitesse est au carré : c’est elle qu’on élève à la puissance 2, pas la masse, ni le produit.
Pourquoi le carré change tout
Le carré de la vitesse est la partie la plus importante de ce chapitre, et la plus contre-intuitive. Si la vitesse est multipliée par 2, la vitesse au carré est multipliée par 2² = 4. Si elle est multipliée par 3, par 9. Si elle augmente de 30 % (de 50 à 65 km/h), l’énergie augmente de 1,3² = 1,69, soit 69 %.
C’est ce carré qui rend la vitesse si dangereuse et si coûteuse. Danger : l’énergie qu’il faut absorber dans un choc à 90 km/h est 3,2 fois celle d’un choc à 50 km/h, alors que la vitesse n’est « que » 1,8 fois plus grande. Coût : pour atteindre 130 km/h, un moteur doit fournir sept fois l’énergie nécessaire pour atteindre 50 km/h, et les freins doivent en évacuer autant pour s’arrêter.
Ordres de grandeur
| Objet en mouvement | Masse | Vitesse | Ec | Remarque |
|---|---|---|---|---|
| Marcheur | 70 kg | 1,4 m/s (5 km/h) | 69 J | |
| Balle de tennis (service) | 58 g | 55 m/s (200 km/h) | 88 J | assez pour laisser un bleu |
| Ballon de football (tir puissant) | 430 g | 28 m/s (100 km/h) | 170 J | |
| Cycliste | 80 kg | 5,6 m/s (20 km/h) | 1,2 kJ | vélo compris |
| Balle de fusil | 4 g | 900 m/s | 1,6 kJ | peu de masse, énorme vitesse |
| Sprinteur | 90 kg | 12 m/s (43 km/h) | 6,5 kJ | |
| Voiture en ville | 1 300 kg | 13,9 m/s (50 km/h) | 125 kJ | équivaut à une chute de 10 m |
| Voiture sur route | 1 300 kg | 25 m/s (90 km/h) | 406 kJ | chute de 32 m |
| Voiture sur autoroute | 1 300 kg | 36 m/s (130 km/h) | 848 kJ | chute de 66 m, un immeuble de 20 étages |
| Camion de 40 t | 40 000 kg | 25 m/s (90 km/h) | 12,5 MJ | 30 fois la voiture à la même vitesse |
| TGV | 400 t | 89 m/s (320 km/h) | 1,6 GJ | 0,44 MWh : la consommation d’un foyer en trois jours |
| Avion de ligne | 250 t | 250 m/s (900 km/h) | 7,8 GJ | |
| Station spatiale internationale | 420 t | 7 660 m/s | 1,2 × 10¹³ J | 12 000 GJ |
Deux lectures utiles. La balle de fusil et le cycliste ont presque la même énergie cinétique, avec des masses dans un rapport 20 000 : le carré de la vitesse compense. Et la voiture à 130 km/h a l’énergie d’une chute du haut d’un immeuble de vingt étages : c’est exactement ce qui se passe dans un choc frontal contre un obstacle fixe.
Mesurer une énergie cinétique en classe
On ne mesure jamais une énergie cinétique directement : on mesure une masse et une vitesse, et on calcule. La difficulté est la vitesse, qui change vite. Au collège, on utilise un chariot sur rail, une chronophotographie ou un capteur, et l’on vérifie au passage la conservation de l’énergie.
Protocole : énergie cinétique d’un chariot lâché sur un plan incliné
- Peser le chariot sur une balance : m = 0,250 kg par exemple. Poser le rail incliné et repérer la hauteur de départ h du chariot au-dessus du bas du rail, à la règle : h = 0,20 m.
- Lâcher le chariot sans vitesse. Mesurer sa vitesse en bas du rail : soit avec deux cellules photoélectriques distantes de 10 cm reliées à un chronomètre (v = 0,10 m / Δt), soit avec une vidéo filmée à 30 images par seconde et pointée image par image, soit avec un capteur à ultrasons.
- Répéter trois fois et prendre la moyenne : Δt = 0,053 s, donc v = 0,10 / 0,053 ≈ 1,9 m/s.
- Calculer l’énergie cinétique : Ec = ½ × 0,250 × 1,9² ≈ 0,45 J.
- Calculer l’énergie de position perdue : Ep = m × g × h = 0,250 × 9,81 × 0,20 ≈ 0,49 J.
- Comparer : Ec (0,45 J) est un peu inférieure à Ep (0,49 J). La différence, environ 8 %, est l’énergie dissipée par les frottements des roues et de l’air. Sans frottements, les deux seraient égales : c’est la conservation de l’énergie mécanique.
- Recommencer avec h = 0,40 m : la vitesse est multipliée par √2 ≈ 1,4, pas par 2, et l’énergie cinétique par 2. On vérifie ainsi expérimentalement le rôle du carré.
Le point délicat est la mesure de vitesse : deux cellules trop proches donnent un Δt très court et imprécis ; trop éloignées, la vitesse a le temps de changer entre les deux. Dix centimètres est un bon compromis pour un chariot à 2 m/s. Avec une vidéo, on gagne en précision en pointant plusieurs positions et en traçant la distance en fonction du temps : la pente en bas du rail donne la vitesse.
Le vent, la grêle et les météorites : l’énergie cinétique autour de nous
L’énergie cinétique ne concerne pas que les véhicules. Elle explique une grande partie de ce qui frappe, érode, alimente ou détruit dans la nature.
Le vent. Une éolienne récupère l’énergie cinétique de l’air qui traverse ses pales. La masse d’air qui passe chaque seconde est proportionnelle à la vitesse du vent, et son énergie cinétique par kilogramme au carré de cette vitesse : la puissance disponible est donc proportionnelle au cube de la vitesse du vent. Un vent deux fois plus fort, c’est huit fois plus de puissance. C’est pourquoi les éoliennes sont hautes (le vent est plus régulier et plus rapide en altitude) et pourquoi elles s’arrêtent au-delà de 90 km/h : l’énergie deviendrait destructrice.
La grêle. Un grêlon de 30 g qui tombe à 25 m/s (90 km/h) transporte 9 J, assez pour cabosser une carrosserie. Un grêlon de 300 g, dix fois plus lourd, tombe plus vite (60 m/s) et arrive avec 540 J : soixante fois plus, de quoi traverser un toit.
Les météorites. Un caillou de 1 kg entrant dans l’atmosphère à 20 km/s possède ½ × 1 × 20 000² = 2 × 10⁸ J, deux cents millions de joules, l’énergie de 50 kg d’explosif. C’est cette énergie, convertie en chaleur par le frottement de l’air, qui fait briller les étoiles filantes et qui explique qu’un astéroïde de quelques dizaines de mètres puisse dévaster une région, comme à Tcheliabinsk en 2013.
L’eau. Une rivière en crue, une vague, un jet de nettoyeur haute pression : partout où de l’eau se déplace vite, son énergie cinétique érode, transporte et détruit. Les centrales hydrauliques font l’inverse : elles convertissent l’énergie de position de l’eau d’un barrage en énergie cinétique dans les conduites, puis en énergie électrique dans les turbines, avec un rendement supérieur à 90 %.
Sécurité routière : le carré en pratique
Pour arrêter un véhicule, les freins doivent transformer toute son énergie cinétique en chaleur. Sur un sol donné, ils fournissent une force à peu près constante, donc l’énergie qu’ils dissipent est proportionnelle à la distance de freinage. Conclusion : la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse.
| Vitesse | v en m/s | Ec (1 300 kg) | Distance de réaction (1 s) | Distance de freinage (sol sec) | Distance d’arrêt | Chute équivalente |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 30 km/h | 8,3 | 45 kJ | 8 m | 5 m | 13 m | 3,5 m (1 étage) |
| 50 km/h | 13,9 | 125 kJ | 14 m | 14 m | 28 m | 10 m (3 étages) |
| 70 km/h | 19,4 | 246 kJ | 19 m | 27 m | 46 m | 19 m (6 étages) |
| 90 km/h | 25 | 406 kJ | 25 m | 45 m | 70 m | 32 m (10 étages) |
| 130 km/h | 36,1 | 848 kJ | 36 m | 93 m | 129 m | 66 m (20 étages) |
La chute équivalente de la dernière colonne est la hauteur d’où il faudrait tomber pour atteindre la même vitesse, donc la même énergie cinétique : h = v² / (2g). Un choc frontal contre un mur à 50 km/h équivaut à une chute du troisième étage ; à 90 km/h, du dixième. C’est l’argument le plus concret pour comprendre les limitations de vitesse et le rôle des glissières, des zones déformables et de la ceinture, qui étalent l’absorption de cette énergie dans le temps.
Les conversions d’énergie
L’énergie cinétique n’apparaît ni ne disparaît : elle se convertit. C’est l’autre grande idée du programme de troisième.
- Un objet qui tombe convertit son énergie de position (liée à sa hauteur) en énergie cinétique : plus il descend, plus il va vite. Sans frottement, la somme des deux reste constante.
- Un objet lancé vers le haut fait l’inverse : son énergie cinétique diminue jusqu’à zéro au sommet, où elle est entièrement devenue énergie de position.
- Un véhicule qui freine convertit son énergie cinétique en énergie thermique dans les disques de frein, qui peuvent dépasser 500 °C, et un peu en énergie sonore.
- Un moteur convertit l’énergie chimique du carburant (ou électrique de la batterie) en énergie cinétique, avec des pertes en chaleur.
- Une éolienne convertit l’énergie cinétique du vent en énergie électrique ; une centrale hydraulique, l’énergie de position de l’eau en énergie cinétique, puis électrique.
Cette conservation permet un calcul élégant : la vitesse d’un objet qui tombe d’une hauteur h vaut v = √(2gh), quelle que soit sa masse. D’une hauteur de 5 m, tout objet arrive à 9,9 m/s, soit 36 km/h ; c’est aussi pour cela que la « chute équivalente » du tableau précédent ne dépend pas de la masse du véhicule.
Exemples résolus
Exemple 1 — Calculer une énergie cinétique
Énoncé. Une voiture de 1 300 kg roule à 50 km/h. Calculer son énergie cinétique.
Résolution.
- Convertir la vitesse : 50 / 3,6 = 13,9 m/s.
- Ec = ½ × 1 300 × 13,9² = ½ × 1 300 × 193 = 125 000 J = 125 kJ.
- Vérification d’ordre de grandeur : une voiture en ville, c’est de l’ordre de 100 kJ. Sans la conversion, on aurait trouvé 1,6 MJ, treize fois trop.
Exemple 2 — Doubler la vitesse
Énoncé. La même voiture passe à 100 km/h. Comment son énergie cinétique évolue-t-elle ? Calculer sa nouvelle valeur.
Résolution.
- La vitesse est multipliée par 2 ; la vitesse au carré par 2² = 4 ; l’énergie cinétique aussi.
- Ec = 4 × 125 kJ = 500 kJ. Vérification directe : 100 km/h = 27,8 m/s ; ½ × 1 300 × 27,8² = 502 kJ.
- Doubler la vitesse quadruple l’énergie, donc l’énergie à dissiper au freinage et la violence d’un éventuel choc.
Exemple 3 — Retrouver une vitesse
Énoncé. Une balle de tennis de 58 g possède une énergie cinétique de 88 J. À quelle vitesse a-t-elle été frappée, en km/h ?
Résolution.
- Masse en kg : 0,058 kg.
- v = √(2 × Ec / m) = √(2 × 88 / 0,058) = √3 034 ≈ 55 m/s.
- En km/h : 55 × 3,6 ≈ 198 km/h, la vitesse d’un service professionnel.
Exemple 4 — Une chute, une vitesse d’arrivée
Énoncé. Un objet tombe d’une hauteur de 20 m (on néglige l’air). À quelle vitesse touche-t-il le sol ? À quelle vitesse en km/h une voiture devrait-elle rouler pour avoir la même énergie cinétique ?
Résolution.
- Toute l’énergie de position m × g × h devient énergie cinétique ½ m v² : v = √(2 × g × h) = √(2 × 9,81 × 20) = √392 ≈ 19,8 m/s, soit 71 km/h.
- La voiture, quelle que soit sa masse, doit rouler à la même vitesse : 71 km/h. Un choc frontal à 70 km/h, c’est une chute de 20 m, six étages.
Les erreurs à éviter
- Garder la vitesse en km/h. Diviser par 3,6 avant d’élever au carré. C’est l’erreur numéro un.
- Oublier le carré, ou le mettre sur la masse. Ec = ½ m v² : seule la vitesse est au carré.
- Oublier le ½. Le résultat est alors deux fois trop grand.
- Croire que l’énergie double quand la vitesse double. Elle est multipliée par quatre.
- Confondre énergie et puissance. L’énergie cinétique est en joules ; la puissance d’un moteur en watts dit à quelle vitesse il fournit cette énergie.
- Penser qu’une énergie cinétique peut être négative. m est positive, v² aussi.
- Comparer des énergies sans les mêmes unités. 125 kJ et 1,6 MJ : convertir en joules avant de comparer (125 000 J et 1 600 000 J).
Exercices corrigés
Application directe
Un cycliste et son vélo ont une masse totale de 80 kg et roulent à 18 km/h.
- Convertir la vitesse en m/s.
- Calculer l’énergie cinétique.
- Que devient-elle si le cycliste passe à 36 km/h ?
Voir la correction
- 18 / 3,6 = 5,0 m/s.
- Ec = ½ × 80 × 5,0² = 1 000 J = 1 kJ.
- La vitesse double, l’énergie est multipliée par 4 : 4 kJ.
Comparer deux véhicules
Un scooter de 150 kg roule à 45 km/h ; un camion de 30 t roule à 15 km/h.
- Calculer l’énergie cinétique de chacun.
- Lequel a le plus d’énergie cinétique ? Combien de fois plus ?
Voir la correction
- Scooter : 45 km/h = 12,5 m/s ; Ec = ½ × 150 × 12,5² = 11 700 J ≈ 11,7 kJ. Camion : 15 km/h = 4,17 m/s ; Ec = ½ × 30 000 × 4,17² = 261 000 J ≈ 261 kJ.
- Le camion, 22 fois plus. Sa vitesse est 3 fois plus faible (énergie ÷ 9), mais sa masse 200 fois plus grande (énergie × 200) : 200 / 9 ≈ 22.
Retrouver la vitesse et la masse
- Un ballon de football de 430 g est tiré avec une énergie cinétique de 170 J. Calculer sa vitesse en m/s puis en km/h.
- Un objet se déplaçant à 20 m/s a une énergie cinétique de 600 J. Quelle est sa masse ?
Voir la correction
- v = √(2 × 170 / 0,430) = √791 ≈ 28 m/s ≈ 101 km/h.
- m = 2 × Ec / v² = 2 × 600 / 20² = 1 200 / 400 = 3 kg.
Distance de freinage
Sur sol sec, une voiture de 1 200 kg met 14 m pour s’arrêter depuis 50 km/h.
- Calculer son énergie cinétique à 50 km/h.
- Quelle énergie les freins ont-ils convertie en chaleur ? En quelle forme d’énergie ?
- Sans calcul détaillé, prévoir la distance de freinage depuis 100 km/h, puis depuis 25 km/h.
- Sur sol mouillé, la force de freinage est deux fois plus faible. Que devient la distance depuis 50 km/h ?
Voir la correction
- 50 km/h = 13,9 m/s ; Ec = ½ × 1 200 × 13,9² ≈ 116 kJ.
- Toute l’énergie cinétique, 116 kJ, a été convertie en énergie thermique (les freins et les pneus chauffent), et un peu en énergie sonore.
- Vitesse × 2 → distance × 4 : 56 m. Vitesse ÷ 2 → distance ÷ 4 : 3,5 m.
- Même énergie à dissiper avec une force deux fois plus faible : il faut une distance deux fois plus longue, 28 m.
Énergie de position et énergie cinétique
Un skieur de 75 kg part sans vitesse du haut d’une piste et descend de 40 m de dénivelé. On néglige les frottements (g = 9,81 N/kg).
- Calculer son énergie de position perdue, Ep = m × g × h.
- En déduire son énergie cinétique en bas, puis sa vitesse en m/s et en km/h.
- En réalité, il arrive à 72 km/h. Quelle énergie a été convertie en chaleur par les frottements ?
Voir la correction
- Ep = 75 × 9,81 × 40 = 29 430 J ≈ 29,4 kJ.
- Sans frottement, Ec = 29,4 kJ ; v = √(2 × 29 430 / 75) = √785 ≈ 28 m/s = 101 km/h. (On retrouve v = √(2gh), indépendante de la masse.)
- 72 km/h = 20 m/s ; Ec réelle = ½ × 75 × 20² = 15 000 J. Énergie dissipée : 29 430 − 15 000 ≈ 14,4 kJ, près de la moitié, dans la neige et l’air.
Le TGV et le freinage
Un TGV de 400 t roule à 320 km/h.
- Calculer son énergie cinétique en joules puis en kWh (1 kWh = 3,6 × 10⁶ J).
- Pour un freinage d’urgence, il s’arrête sur 3,3 km. Quelle force de freinage moyenne cela représente-t-il ? (L’énergie dissipée vaut force × distance.)
- Le TGV récupère 30 % de son énergie cinétique par freinage électrique et la renvoie dans la caténaire. Combien de kWh sont récupérés ? Combien d’heures cela ferait-il fonctionner une bouilloire de 2 kW ?
Voir la correction
- 320 km/h = 88,9 m/s ; Ec = ½ × 400 000 × 88,9² ≈ 1,58 × 10⁹ J ≈ 439 kWh.
- F = E / d = 1,58 × 10⁹ / 3 300 ≈ 480 000 N, le poids de 49 tonnes.
- 30 % de 439 kWh ≈ 132 kWh. Bouilloire : 132 / 2 = 66 heures.
Quiz : énergie cinétique
Ce qu’il faut retenir
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’énergie cinétique ?
Ec = ½ × m × v², avec Ec en joules, m la masse en kilogrammes et v la vitesse en mètres par seconde. Exemple : une voiture de 1 300 kg à 50 km/h (13,9 m/s) a une énergie cinétique de ½ × 1 300 × 13,9² ≈ 125 000 J, soit 125 kJ.
Pourquoi la vitesse est-elle au carré dans la formule ?
Parce que l’énergie cinétique correspond au travail nécessaire pour lancer l’objet, et que ce travail croît comme le carré de la vitesse : pour aller deux fois plus vite, il faut pousser deux fois plus fort sur une distance deux fois plus longue. Conséquence : doubler la vitesse quadruple l’énergie, la tripler la multiplie par neuf.
Dans quelles unités faut-il calculer ?
En kilogrammes et en mètres par seconde pour obtenir des joules. Une vitesse en km/h doit d’abord être divisée par 3,6 : 90 km/h = 25 m/s. Une masse en tonnes doit être multipliée par 1 000. Oublier de convertir les km/h donne un résultat 13 fois trop grand.
Quel lien entre énergie cinétique et distance de freinage ?
Pour arrêter un véhicule, les freins doivent dissiper toute son énergie cinétique en chaleur. Comme cette énergie est proportionnelle au carré de la vitesse, la distance de freinage l’est aussi : elle est multipliée par 4 quand la vitesse double. À 50 km/h, environ 14 m sur sol sec ; à 100 km/h, environ 55 m.
L’énergie cinétique peut-elle être négative ?
Non. La masse est positive et la vitesse est élevée au carré, donc Ec est toujours positive ou nulle. Elle est nulle pour un objet immobile. Elle ne dépend pas du sens du mouvement : une voiture qui recule à 50 km/h a la même énergie cinétique qu’une voiture qui avance à 50 km/h.
Que devient l’énergie cinétique d’une voiture qui freine ?
Elle est convertie en énergie thermique dans les freins et les pneus, qui chauffent, et un peu en énergie sonore. L’énergie ne disparaît pas : elle change de forme. Dans une voiture électrique ou hybride, une partie est récupérée sous forme d’énergie électrique pour recharger la batterie (freinage régénératif).