Calculer une vitesse, une distance ou un temps : formule v = d/t, unités et calculateur

Calcule v, d ou t

Renseigne deux grandeurs, la troisième se calcule. Les durées peuvent s’écrire « 90 », « 1h30 » ou « 0:01:30 ».

Grandeur à calculer

Vitesse v Distance d Durée t

Distance d

mkmcm

Durée t

sminhh : min : s

Vitesse v

km/hm/s

CalculerEffacer

Le résultat s’affiche ici, avec le détail du calcul, la conversion m/s ↔ km/h et un repère.

Qu’est-ce que la vitesse ?

Deux cyclistes partent du même endroit. Après une heure, le premier a parcouru 15 km et le second 25 km. Tout le monde dira que le second est allé « plus vite ». Ce que l’on compare, sans le formuler, c’est la distance parcourue pendant une même durée. C’est exactement cela, la vitesse : la distance parcourue par unité de temps.

La vitesse est donc une grandeur qui relie deux mesures : une longueur et une durée. Elle répond à la question « combien de mètres en une seconde ? » ou « combien de kilomètres en une heure ? ». Un marcheur fait environ 1,4 m à chaque seconde ; une voiture en ville, à 50 km/h, avance de 13,9 m par seconde ; la lumière parcourt 299 792 458 m par seconde.

On note la vitesse v (initiale de vitesse, et de velocity en anglais). Dans les programmes du collège, on distingue :

• la vitesse moyenne, calculée sur l’ensemble d’un trajet : distance totale divisée par durée totale ;
• la vitesse instantanée, celle qu’indique le compteur d’une voiture à un instant précis.

Quand la vitesse ne change pas au cours du temps, le mouvement est dit uniforme : l’objet parcourt toujours la même distance pendant la même durée. Quand elle augmente, le mouvement est accéléré ; quand elle diminue, il est ralenti (ou décéléré). Pour un mouvement uniforme, vitesse moyenne et vitesse instantanée sont égales ; c’est le cas le plus simple, celui sur lequel repose la formule que vous utilisez au collège.

La formule : v = d / t

$$v=\frac{d}{t}$$

Avec :

• v la vitesse, en mètres par seconde (m/s) ;
• d la distance parcourue, en mètres (m) ;
• t la durée du parcours, en secondes (s).

La formule est une simple division : on partage la distance totale en autant de morceaux qu’il y a de secondes. Si un coureur parcourt 100 m en 10 s, il a parcouru, en moyenne, 100 / 10 = 10 m à chaque seconde : sa vitesse est de 10 m/s.

Cette relation peut être « retournée » pour trouver une distance ou une durée quand on connaît la vitesse. Ce sont les deux autres formes, très utilisées en exercice :

$$d=v\times t\text{et}t=\frac{d}{v}$$

Pourquoi la vitesse est-elle une division et non une soustraction ? Parce que, pour un mouvement uniforme, distance et durée sont proportionnelles : deux fois plus de temps, deux fois plus de distance. Le rapport d / t reste le même quel que soit le morceau du trajet que l’on considère. C’est ce rapport constant que l’on appelle vitesse. Vous retrouverez cette idée sur le graphique distance-temps un peu plus bas : un mouvement uniforme y dessine une droite.

Les unités : m/s, km/h et le facteur 3,6

L’unité de vitesse du Système international est le mètre par seconde, notée m/s. C’est celle qu’attendent toutes les formules de physique. Elle découle directement de v = d / t : une distance en mètres divisée par une durée en secondes.

Dans la vie courante, on emploie le kilomètre par heure (km/h) : limitations de vitesse, compteur de voiture, records sportifs. Les deux unités décrivent la même grandeur ; il faut simplement savoir passer de l’une à l’autre.

$$1\text{m/s}=\mathrm{3,6}\text{km/h}$$

D’où vient le 3,6 ? Un objet qui avance à 1 m/s parcourt 1 m chaque seconde. En une heure, soit 3 600 secondes, il parcourt 3 600 m, c’est-à-dire 3,6 km. Il va donc à 3,6 km/h. Le facteur 3,6 est exactement 3 600 / 1 000 : le nombre de secondes dans une heure divisé par le nombre de mètres dans un kilomètre.

Les durées demandent une attention particulière parce que le temps ne se compte pas en base 10. Il y a 60 secondes dans une minute et 60 minutes dans une heure. Pour convertir 2 h 15 min en heures, on écrit 2 + 15/60 = 2,25 h. Pour convertir 1 h 30 min en secondes : 1 × 3 600 + 30 × 60 = 5 400 s. Le calculateur ci-dessus accepte directement les formats « 1h30 » ou « 1:30:00 » et fait cette conversion pour vous, mais en contrôle, c’est vous qui devez la faire.

Vitesses de référence : de l’escargot à la lumière

Avoir des repères en tête permet de vérifier un résultat d’un coup d’œil. Une voiture qui roulerait à 500 m/s ou un piéton à 40 km/h, c’est le signe d’une erreur d’unité.

Comment mesurer une vitesse

Mesurer une vitesse, c’est toujours mesurer une distance et une durée, puis diviser. La méthode change selon le matériel.

En classe : règle et chronomètre

Le protocole le plus simple utilise une distance connue et un chronomètre. On marque un point de départ et un point d’arrivée séparés d’une distance d mesurée à la règle ou au décamètre, on déclenche le chronomètre au passage du premier repère et on l’arrête au second.

Avec une chronophotographie

Une chronophotographie est une image sur laquelle on superpose des photos prises à intervalles de temps réguliers, par exemple toutes les 0,5 s. La position de l’objet apparaît autant de fois qu’il y a eu de déclenchements. Si les positions successives sont régulièrement espacées, le mouvement est uniforme ; si l’écart augmente, il accélère ; s’il diminue, il ralentit. Pour calculer la vitesse, on mesure la distance entre deux positions successives et on la divise par l’intervalle de temps. Cette méthode est très utilisée au collège parce qu’elle rend visible la vitesse.

Avec un radar ou un GPS

Le radar routier mesure la vitesse instantanée grâce à l’effet Doppler : l’onde qu’il envoie revient avec une fréquence modifiée par le mouvement du véhicule. Le GPS d’un téléphone, lui, calcule simplement la distance entre deux positions successives et la divise par le temps écoulé entre les deux : c’est exactement v = d / t, appliquée plusieurs fois par seconde.

Le graphique distance-temps

On représente souvent un mouvement par un graphique où l’on place le temps en abscisse (axe horizontal) et la distance parcourue en ordonnée (axe vertical). Ce graphique dit tout du mouvement.

Trois règles de lecture à connaître :

1. Un mouvement uniforme donne une droite qui passe par l’origine. La distance est proportionnelle au temps. Plus la droite est « raide », plus la vitesse est grande : la pente de la droite est la vitesse.
2. Une courbe qui se redresse (de plus en plus raide) traduit un mouvement accéléré ; une courbe qui s’aplatit traduit un mouvement ralenti.
3. Un segment horizontal signifie que la distance n’augmente plus : l’objet est à l’arrêt.

Pour lire la vitesse sur le graphique, on choisit un point de la droite, on lit sa distance et son temps, et on divise. Sur la figure : au point (4 s ; 8 m), v = 8 / 4 = 2 m/s. N’importe quel autre point de la droite donne la même valeur, ce qui est la définition même d’un mouvement uniforme.

Exemples résolus

La méthode est toujours la même en quatre étapes : repérer la grandeur cherchée, choisir la bonne forme de la formule, mettre les unités en cohérence, calculer puis vérifier l’ordre de grandeur.

Exemple 1 — Calculer une vitesse en km/h et en m/s

Énoncé. Une voiture parcourt 150 km en 1 h 30 min. Calculer sa vitesse moyenne en km/h, puis en m/s.

Résolution.

1. Grandeur cherchée : la vitesse, donc v = d / t.
2. Unités : on veut des km/h, donc d en km (150 km) et t en heures : 1 h 30 min = 1,5 h.
3. v = 150 / 1,5 = 100 km/h.
4. Conversion en m/s : 100 / 3,6 ≈ 27,8 m/s.

Vérification. 100 km/h est une vitesse plausible pour une voiture sur route : pas d’erreur d’unité.

Exemple 2 — Le record du 100 m

Énoncé. Usain Bolt a couru le 100 m en 9,58 s (Berlin, 2009). Quelle a été sa vitesse moyenne en m/s et en km/h ?

Résolution.

1. v = d / t = 100 / 9,58 ≈ 10,4 m/s.
2. En km/h : 10,4 × 3,6 ≈ 37,6 km/h.

Interprétation. C’est une vitesse moyenne : au départ il est immobile, et sa vitesse de pointe, mesurée entre 60 et 80 m, a dépassé 44 km/h. Un cycliste en balade va deux fois moins vite ; une voiture en ville, un peu plus vite.

Exemple 3 — Calculer une distance : à quelle distance est l’orage ?

Énoncé. On voit un éclair et on entend le tonnerre 6 s plus tard. La lumière arrive quasi instantanément ; le son se déplace à 340 m/s. À quelle distance est l’orage ?

Résolution.

1. Grandeur cherchée : une distance, donc d = v × t.
2. Unités cohérentes : v en m/s et t en s. C’est déjà le cas.
3. d = 340 × 6 = 2 040 m, soit environ 2 km.

Astuce. Comme 340 m/s × 3 s ≈ 1 000 m, on retient : 3 secondes ≈ 1 kilomètre. Si l’écart entre l’éclair et le tonnerre diminue d’une fois sur l’autre, l’orage s’approche.

Exemple 4 — Calculer une durée

Énoncé. Un TGV roule à 320 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir les 400 km qui séparent deux villes, en supposant sa vitesse constante ?

Résolution.

1. Grandeur cherchée : une durée, donc t = d / v.
2. Unités : d en km et v en km/h donnent t en heures.
3. t = 400 / 320 = 1,25 h.
4. Conversion : 0,25 h = 0,25 × 60 = 15 min, donc t = 1 h 15 min.

Attention. 1,25 h n’est pas « 1 h 25 min ». La partie décimale d’une heure se convertit en multipliant par 60.

Le piège de la vitesse moyenne

Voici l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre, jusqu’au lycée. Un automobiliste fait un aller à 60 km/h et le retour, sur la même route, à 120 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l’aller-retour ? La réponse spontanée est 90 km/h, la moyenne de 60 et 120. Elle est fausse.

La vitesse moyenne est la distance totale divisée par la durée totale. Prenons un trajet de 120 km dans chaque sens :

• aller : t = 120 / 60 = 2 h ;
• retour : t = 120 / 120 = 1 h ;
• total : 240 km en 3 h, donc v = 240 / 3 = 80 km/h.

La vitesse moyenne est plus proche de 60 que de 120, parce que l’automobiliste a passé deux fois plus de temps à rouler lentement. On ne fait jamais la moyenne des vitesses : on additionne les distances, on additionne les durées, et on divise.

La vitesse au quotidien : sécurité routière

Convertir une vitesse en m/s rend concret ce qui se passe au volant. À 50 km/h, une voiture parcourt 13,9 m chaque seconde. Or le temps de réaction d’un conducteur attentif, entre le moment où il voit l’obstacle et celui où il appuie sur le frein, est d’environ 1 seconde. Pendant cette seconde, la voiture a déjà avancé de 14 m, la longueur de trois voitures, avant même que le freinage commence.

Deux observations à retenir. La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse : deux fois plus vite, deux fois plus loin. La distance de freinage, elle, est proportionnelle au carré de la vitesse : deux fois plus vite, quatre fois plus loin. C’est pour cela que passer de 50 à 30 km/h en ville divise la distance d’arrêt par deux. Vous retrouverez ce carré en troisième avec l’énergie cinétique.

Un moyen mnémotechnique utilisé en sécurité routière : la distance de réaction en mètres vaut environ 3 fois le chiffre des dizaines de la vitesse en km/h. À 90 km/h : 9 × 3 = 27 m, proche des 25 m exacts.

Les erreurs à éviter

• Mélanger les unités. Des km avec des secondes, des mètres avec des heures. Choisissez un couple cohérent avant de calculer : (m ; s) ou (km ; h).
• Convertir 1 h 30 en 1,30 h. Une demi-heure, c’est 0,5 h. Écrivez les minutes en fraction d’heure : 15 min = 0,25 h, 20 min = 0,333 h, 45 min = 0,75 h.
• Inverser la fraction. v = d / t, la distance en haut. L’unité vous le rappelle : « mètres par seconde », donc mètres divisés par secondes.
• Faire la moyenne des vitesses pour trouver une vitesse moyenne. On divise toujours la distance totale par la durée totale.
• Confondre 3,6 et 36 ou 0,36. Un moyen de vérifier : la valeur en km/h est toujours plus grande que la valeur en m/s (environ 3 à 4 fois).
• Donner un résultat sans unité. « v = 25 » n’a aucun sens. « v = 25 m/s » est une réponse.
• Croire qu’une vitesse instantanée se lit sur un graphique distance-temps en lisant une valeur. On lit une pente, pas une ordonnée. Si la courbe n’est pas une droite, il faut une tangente : c’est un travail de lycée.

Exercices corrigés

Exercice 1

Vitesse d’un cycliste

5e●○○

Un cycliste parcourt 30 km en 1 h 30 min.

1. Convertir la durée en heures.
2. Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
3. Convertir cette vitesse en m/s.

Voir la correction

1. 30 min = 0,5 h, donc 1 h 30 min = 1,5 h.
2. v = d / t = 30 / 1,5 = 20 km/h.
3. 20 / 3,6 ≈ 5,6 m/s. C’est bien l’ordre de grandeur d’un cycliste en balade.

Exercice 2

Conversions

5e●○○

Convertir :

1. 72 km/h en m/s ;
2. 15 m/s en km/h ;
3. 0,5 km/s en km/h ;
4. 3 min 20 s en secondes ;
5. 2,75 h en heures et minutes.

Voir la correction

1. 72 / 3,6 = 20 m/s.
2. 15 × 3,6 = 54 km/h.
3. 0,5 × 3 600 = 1 800 km/h.
4. 3 × 60 + 20 = 200 s.
5. 0,75 h = 0,75 × 60 = 45 min, donc 2 h 45 min.

Exercice 3

Le son et l’orage

5e●●○

La vitesse du son dans l’air est de 340 m/s.

1. Quelle distance le son parcourt-il en 4 s ?
2. Combien de temps met-il pour parcourir 1 km ?
3. Lors d’un orage, on compte 9 s entre l’éclair et le tonnerre. À quelle distance est l’orage ? Pourquoi peut-on négliger le temps mis par la lumière ?

Voir la correction

1. d = v × t = 340 × 4 = 1 360 m.
2. t = d / v = 1 000 / 340 ≈ 2,9 s. C’est l’origine de la règle « 3 secondes pour 1 kilomètre ».
3. d = 340 × 9 = 3 060 m ≈ 3 km. La lumière va à 300 000 km/s : elle parcourt 3 km en 0,00001 s, un temps totalement négligeable devant 9 s.

Exercice 4

Durée d’un trajet

4e●●○

Une famille part en vacances. Le trajet fait 455 km. Sur autoroute, la vitesse moyenne est de 110 km/h.

1. Calculer la durée du trajet, en heures puis en heures et minutes.
2. En ajoutant deux pauses de 20 min, à quelle heure arrive-t-on si l’on part à 8 h 15 ?
3. Quelle est la vitesse moyenne du trajet complet, pauses comprises ?

Voir la correction

1. t = d / v = 455 / 110 ≈ 4,136 h. 0,136 h × 60 ≈ 8 min, donc 4 h 08 min environ.
2. Durée totale : 4 h 08 min + 40 min = 4 h 48 min. Arrivée : 8 h 15 + 4 h 48 = 13 h 03.
3. v = 455 / 4,8 h ≈ 95 km/h. Les pauses font baisser la vitesse moyenne de 110 à 95 km/h alors que la voiture n’a jamais roulé moins vite : la vitesse moyenne inclut les arrêts.

Exercice 5

Aller-retour

4e●●●

Un bateau relie deux ports distants de 24 km. À l’aller, avec le courant, il navigue à 12 km/h. Au retour, contre le courant, il navigue à 8 km/h.

1. Calculer la durée de l’aller, puis celle du retour.
2. Calculer la vitesse moyenne sur l’aller-retour.
3. Pourquoi cette vitesse moyenne n’est-elle pas de 10 km/h ?

Voir la correction

1. Aller : t = 24 / 12 = 2 h. Retour : t = 24 / 8 = 3 h.
2. Distance totale 48 km, durée totale 5 h : v = 48 / 5 = 9,6 km/h.
3. Parce que le bateau a passé plus de temps (3 h contre 2 h) à la vitesse la plus faible. La moyenne des deux vitesses (10 km/h) donnerait le même poids aux deux parties du trajet, alors qu’elles n’ont pas duré le même temps. On divise toujours la distance totale par la durée totale.

Exercice 6

Exploiter une chronophotographie

4e●●●

Une chronophotographie d’un chariot est prise toutes les 0,5 s. On relève la position du chariot par rapport au point de départ :

Image	1	2	3	4	5	6
t (s)	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
d (m)	0	0,80	1,60	2,40	3,20	4,00

1. Le mouvement est-il uniforme ? Justifier.
2. Calculer la vitesse du chariot.
3. Si l’on trace d en fonction de t, quelle sera l’allure de la courbe ?
4. Quelle distance le chariot aura-t-il parcourue au bout de 6 s, si le mouvement continue ainsi ?

Voir la correction

1. Entre deux images successives, le chariot parcourt toujours 0,80 m pendant 0,5 s. Les distances parcourues pendant des durées égales sont égales : le mouvement est uniforme.
2. v = d / t = 0,80 / 0,5 = 1,6 m/s. On peut vérifier sur l’ensemble : 4,00 / 2,5 = 1,6 m/s.
3. Une droite passant par l’origine, de pente 1,6 m/s, puisque d est proportionnelle à t.
4. d = v × t = 1,6 × 6 = 9,6 m.

Quiz : sais-tu calculer une vitesse ?

1. Quelle est la formule de la vitesse ?

   v = d × tv = t / dv = d / tv = d − t
2. L’unité de vitesse du Système international est…

   le km/hle m/sle km/sle m/min
3. 90 km/h, c’est…

   9 m/s25 m/s324 m/s2,5 m/s
4. 10 m/s, c’est…

   3,6 km/h2,8 km/h36 km/h360 km/h
5. Un mouvement est uniforme quand…

   la trajectoire est une droitela vitesse ne change pasl’objet ralentit régulièrementla distance parcourue est grande
6. Un piéton marche 3 km en 40 min. Sa vitesse moyenne est…

   7,5 km/h4,5 km/h12 km/h0,075 km/h
7. Sur un graphique distance-temps, un mouvement uniforme est représenté par…

   une droite horizontaleune droite passant par l’origineune courbe qui se redresseune droite verticale
8. Un trajet aller à 40 km/h et retour à 60 km/h sur la même route. La vitesse moyenne sur l’aller-retour est…

   50 km/hexactement 48 km/h100 km/himpossible à calculer

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